ЛОМАНЫЕ И МНОГОУГОЛЬНИКИ

Фигура, образованная конечным набором отрезков, расположенных так, что конец первого является началом второго, конец второго – началом третьего и т.д., называется ломаной линией или просто ломаной (рис. 1). Отрезки называются сторонами ломаной, а их концы – вершинами ломаной.

Длиной ломаной называется сумма длин ее сторон.

Ломаная обозначается последовательным указанием ее вершин. Напри­мер, ломаная АВСDE, ломаная A₁A₂…A_n.

Ломаная называется простой, если она не имеет точек самопересече­ния (рис. 2).

Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка ломаной совпадает с концом последне­го. Замкнутую ломаную, у которой точ­ками самопересечения являются только начальная и конечная точки, также называют простой (рис. 3).

Фигу­ра, ограниченная простой замкнутой ломаной, называется многоугольником. Вершины ломаной назы­ваются вершинами многоугольника, стороны ломаной - сторонами многоу­гольника, а углы, образованные соседними сторонами, - углами многоу­гольника. Точки многоугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Многоугольники подразделяются на треугольники – многоугольники с тремя углами, четырехугольники – многоугольники с четырьмя углами и т.д. (рис. 4). Многоугольник, у которого n углов называется n - уголь­ником.

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны рав­ны и все углы равны.

Многоугольник называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками он содержит и соединяющий их отрезок (рис. 5).

Любой треугольник выпуклый.  Среди многоугольников, с числом уг­лов большим трех, могут быть выпуклые и невыпуклые (рис. 6).

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его не­соседние вершины.

Ясно, что выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали. Не­выпуклый многоугольник может не содержать некоторые свои диагонали (рис. 7).

Задачи

1. Простая ломаная имеет 10 вершин. Сколько у нее сторон?

2. Простая замкнутая ломаная имеет 20 сторон. Сколько у нее вершин?

3. Какая имеется зависимость между числом вершин и числом сторон многоугольника?

4. Верно ли, что многоугольник это фигура, у которой много углов?

5. Нарисуйте выпуклые и невыпуклые: а) четырехугольники; б) пяти­угольники; в) шестиугольники. Используя линейку, найдите периметры этих многоугольников.

6. Нарисуйте правильные треугольник, четырехугольник, пятиуголь­ник и шестиугольник. Проверьте правильность нарисованных многоугольни­ков с помощью линейки и транспортира.

7. Укажите, какие из представленных на рисунке 8 фигур являют­ся многоугольниками, а какие нет.

8. Сколько диагоналей имеет: а) треугольник; б) четырехугольник; в) пятиугольник; б)* n-угольник?

9. Может ли многоугольник иметь: а) 10 диагоналей; б) 20 диагона­лей; в) 30 диагоналей?

10. Существует ли многоугольник: а) число диагоналей которого равно числу его сторон; б) число диагоналей которого меньше числа его сторон; в) число диагоналей которого больше числа его сторон?

11. На сколь­ко треугольников делится выпуклый: а) 4-угольник; б) 5-угольник; в) 6-угольник; г)* n-угольник своими диагоналями, проведенными из одной вершины?

12. Может ли прямая пересекать все стороны: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д)* n-угольника?

13*. Прямая l имеет с простой замкнутой ломаной 2005 общих точек. Докажите, что существует прямая l', пересекающая эту ломаную более чем в 2005 точках.